האם הצבעה בבחירות היא פעולה ראציונלית?

 

בדרך כלל נהוג לסמן את מי שמצהיר על כך שהוא לא מתכוון להצביע בבחירות כמנותק ו"מרחף", בזמן שהאדם מין היישוב הוא זה השוקל בכובד ראש ומשקיע זמן רב בהירהור למי יצביע בבחירות המתרגשות עליו. אבל אם בוחנים בצורה אובייקטיבית את ההסתברות שקול בודד יכריע את גורל הבחירות, קשה להשתכנע שהצבעה בבחירות יכולה להשפיע על התוצאה.

למשל, אם נניח לשם הפשטות שיש בישראל שתי מפלגות בלבד, מפלגת "שמאל" ומפלגת "ימין", אשר מתחרות על ליבם של 4,000,001 בעלי זכות בחירה. הקול של אדם X יכריע את הבחירות רק במידה ו 2,000,000 בדיוק מהקולות האחרים יצביעו למפלגת "שמאל", ו-2,000,000 קולות נוספים יבחרו במפלגת "ימין". כל התפלגות אחרת של הקולות תגרום לכך שהפתק של X לא ישפיע כלל על תוצאות הבחירות. במערכת בחירות צמודה מאוד, נניח 51% מול 49%, הסיכוי שקול בודד יהיה זה שיכריע את תוצאת הבחירות היא בערך 351- ^ 10 * 1.246863. ברור שהמספר הזה הוא נמוך בצורה אסטרונומית ואין שום סיכוי סביר שמאורע כזה יתרחש. רק כדי להמחיש עד כמה הסיכוי הזה הוא נמוך, נאמר שההסתברות שמאורע כזה יתרחש שווה, בסדר גודל, להסתברות שטופס בודד יזכה בפרס הראשון בלוטו — במשך שנה שלמה ברציפות. כך יוצא שהסיכוי של הבוחר להיות מעורב חלילה בתאונת דרכים בדרכו לקלפי גבוה בהרבה מהסיכוי שהקול שלו יכריע את הבחירות במידה ויגיע אל קלפי בשלום. לפי ניתוח זה, הצבעה בבחירות היא פעולה בלתי ראציונלית.

אבל נניח שהבחירות הפעם הן צמודות מאוד, והסקרים (נניח שהם מדוייקים במאת האחוזים) מראים ש 49.9% מהקולות כבר הודיעו שהם מתכוונים להצביע למפלגת "שמאל", ו-49.9% אחרים החליטו חד משמעית שהם יצביעו למפלגת "ימין". מערכת בחירות צמודה כל כך מעולם לא היתה, ונראה שגורל הבחירות תלוי אך ורק בהחלטתם של קומץ ה-0.2% שעדיין מתלבטים. אבל מסתבר שגם בבחירות הכי צמודות שרק ניתן להעלות על הדעת, ההסתברות שקולו הבודד של X יהיה זה שיכריע את הקרב על השלטון היא לכל היותר 0.0089203416891. כלומר, גם במצב צמוד שכמוהו עוד לא היה, וגם בהנחה שכל הסקרים נכונים עד רמת הקול היחיד, ובהנחה (המשמעותית מאוד, במקרה זה) שההסתברות שקול צף יצביע "שמאל" שווה בדיוק להסתברות שיצביע "ימין", אפילו אז הסיכוי של הקול הבודד להכריע את הבחירות הוא די נמוך, וכמעט ודאי שהפתק הזה לא ישפיע כלל על התוצאה.

אז למה בכל זאת אנשים משקיעים כל כך הרבה זמן בלימוד החומר ומצעי המפלגות, בדיקת המועמדים, התלבטות קשה וממושכת בין המפלגות השונות, ולאחר מיכן אף מקדימים להגיע לקלפי ולחכות בתור הארוך והצפוף? קשה להאמין שזה בגלל שמישהו באמת מאמין שהפתק שלו הוא זה שיכריע את הבחירות, ומשום כך עליו לשקול היטב את הצעד הגורלי ואף להקפיד להגיע לקלפי. אולי חלק מזה קשור לכך שהעיסוק בסוגיית ההצבעה נותנת לבוחר את התחושה שהוא משפיע על השלטון, בדיוק כמו שמילוי טופס לוטו נותן למהמר אשליה מסויימת של עושר שמלווה אותו עד לרגע הגרלה. אולי זו גם תחושת הזהות והדימוי העצמי. אותו דימוי עצמי שגורם לאנשים להכריז בקול רם על החלטת ההצבעה שלהם, להוכיח את מי שבחר אחרת מהם, או לכתוב פוסטים שעניינם הוא "לאיזה מפלגה אני מתכוון להצביע ולמה".

מודעות פרסומת
Post a comment or leave a trackback: Trackback URL.

תגובות

  • יוסי  On פברואר 3, 2009 at 6:07 am

    לקראת הבחירות המקומיות בתל-אביב ניהלתי דיון בנושא עם שני חברים משכילים ואינטליגנטים ולפחות אחד מהם התעקש עד הסוף המר שהוא משפיע על הבחירות בכך שהוא מצביע.

    הטענה הכי חזקה שלו היתה שאם חנין ייבחר, הרי מישהו גרם לבחירה הזו, וברור שמי שגרם להיבחרות שלו הוא כל האנשים שהצביעו לו. ואז, הוא שאל, מה המשקל של הבחירה שלי? כלומר, האם ייתכן שלי אין השפעה בכלל ולמישהו אחר יש? הוא צודק, כי אין חשיבות איזה פתק סופרים מתי, כל הפתקים תרמו באותה מידה לבחירה.

    הטעות שלו, לטעמי, היא שזו דרך לחשב את משקל ההצבעה, אבל הדרך הזו לא קשורה לשאלה האם הצבעה היא רציונלית. כלומר, מדובר בשני סוגים שונים של המילה השפעה.

    בשאלה שהוא שאל, השפעה היא התרומה היחסית של כל מצביע, ומחשבים אותה כאחד חלקי מספר המצביעים.

    אבל השאלה על התרומה היחסית של כל מצביע אינה קשורה לשאלה האם כדאי להצביע (כלומר, האם זה רציונלי להצביע). השאלה האם כדאי להצביע יכולה להימדד רק בהקשר של ההבדל בין התוצאה של הצבעה לתוצאה של אי-הצבעה. זו השאלה שאתה דן בה בפוסט שלך.

    אני לא מבין למה אתה מתייחס בסיכוי 0.0089203416891. לדעתי, משום שאין חשיבות לסדר הפתקים, במצב שבו יש נצחון על חודו של קול, כל אלו שהצביעו למועמד שניצח בקול אחד גרמו לבחירה שלו, כי אם לא היו מצביעים, המועמד לא היה מנצח.

    כלומר, אם היה נתון מראש שהמועמד שלכם הולך להפסיד או לנצח בקול אחד בלבד, אזי פעולת ההצבעה במטרה להשפיע היא רציונלית. כל עוד אין זה נתון מראש, אז הסיכוי להשפיע בהצבעה הוא הסיכוי שהמועמד שלך ינצח בקול אחד או שיהיה תיקו.

    בגלל שהחבר שהתווכח איתי הוא אדם בעל יכולות מתמטיות גבוהות מאוד, אני נוטה להאמין שרוב האנשים מצביעים כי הם באמת חושבים שהם משפיעים. כלומר, הם טועים.

    עוד קריאה בנושא:
    http://freakonomics.blogs.nytimes.com/2008/11/11/election-exception-proves-the-rule/

    משם אפשר להגיע למאמר של סטטיסטיקאים בנושא:
    http://tinyurl.com/6y3toe

    אני גם קצת מסכים עם סוף הפוסט שלך, אבל לא לגמרי. לדעתי, הצבעה היא פעולה רציונלית יחסית, כי היא מביאה תועלת אישית רבה. היא פעולה מהנה לאנשים רבים כי היא קשורה לאידיאל הדמוקרטיה, היא מאפשרת לאדם להתווכח בקלות רבה יותר עם חבריו בנושאים פוליטיים (לא יגידו לך: "אתה אפילו לא מצביע"), והיא גם טקס שתורם לזהות שלך ("אני מצביע מרצ").
    אמנם האמונה במשמעות הפעולה (בטקס) היא לא רציונלית, אבל בהנחה שלא ניתן לבטל את האמונה המוטעית הזו, אזי ההצבעה היא רציונלית כי היא גורמת להרגשה טובה בשל הגורמים שמניתי למעלה וגורמים אחרים.

    אגב, הטפה להצבעה כלשהי, בהנחה שיש לך השפעה על אנשים רבים, היא רציונלית.

  • ד.ט  On פברואר 3, 2009 at 6:17 am

    נניח שהמסקנה הרציונלית היא שאין טעם להצביע. אז כל הרציונלים לא יצביעו, ורק אנשים לא רציונלים, או כאלה שלא טובים בהסתברויות ובמתמטיקה, יילכו להצביע – והתוצאות לא יהיו בהכרח לשביעות רצונם של הרציונלים.

    "קשה להשתכנע שהצבעה בבחירות יכולה להשפיע על התוצאה." – אז מה משפיע על התוצאה?

    התוצאות אולי אינן תלויות במצביע בודד, אבל הן בהחלט תלויות בציבור כולו. זה לא דומה לטופס הלוטו.

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 6:30 am

    מכמה סיבות:
    יש כאן הנחת יסוד שללכת להצביע בבחירות זה רציונלי אך ורק אם הסיכוי שהקול שלך יכריע את הכף. האם זו הנחה סבירה? אני לא בטוח. ראשית יש כאן עניין של סף. מה זה סיכוי גדול מספיק? האם סיכוי של 0.00001 זה מספיק טוב, אולי רק 0.001?
    בקיצור איפה עובר הגבול?

    שנית,
    כמו בכל טיעון הסתברותי, נהוג שמחשבים כדאיות על פי תוחלת הרווח ולא סיכוי הרווח. (רוצה לומר זה אולי רציונלי להשקיע 5 שקליפ בהגרלה בה בסיכוי 0.01 מרוויחים 5000 שקל, אבל קצת פחות רציונלי עם הזכיה היא 10 שקלים בלבד באותה ההסתברות)
    תוחלת מחשבים על ידי מכפלת ההסתברות בערך הזכיה. ייתכן שהסיכוי שקולך יכריע הוא קטן, אבל אם התועלת שלך מהאירוע הזה גדולה מאד מאד – זה אולי עדיין אמור להיחשב רציונלי להצביע, למרות הסיכוי הקטן להכריע.

    שלישית, בשאלות של רציונליות, צריך להשוות שני דברים – תועלת הפעולה מול מחיר הפעולה (או לחילופין להשוות בין התועלת של שתי אלטרנטיבות). אם מחיר הפעולה עבור המצביע הוא 0, אז כדאי לו, מבחינה רציונלית, לעשות זאת גם אם התועלת שבעשיית המעשה קטנה מאד. בטיעון שהובא בפוסט לא דובר בכלל על מחיר או על אלטרנטיבה.

    אבל הכי חשוב, מי אמר שרק "להיות הקול המכריע" מביא למצביע ערך שבעטיו כדאי או לא כדאי לו ללכת להצביע? אולי בכלל הערך למצביע הוא ערך מסוג אחר – תחושה של שייכות, למשל, או תחושה של מילוי חוב אזרחי. גם ערך חברתי ואישי הוא ערך. ובהחלט רציונלי (ואפילו נפוץ למדי) להשקיע לא מעט זמן ומאמץ ואפילו כסף בשביל לזכות בערכים בעלי אופי חברתי, כמו מעמד, חברים, השפעה ועוד.

    בקיצור הפוסט הזה מציע טיעון שטחי למדי לטענה די סתמית.

  • יוסי  On פברואר 3, 2009 at 6:35 am

    אם האדם הרציונלי מגיע למסקנה שכל שאר האנשים הרציונליים יצביעו, אז ההצבעה שלו לא משפיעה. אם הוא מגיע למסקנה שהם לא יצביעו, אז גם ההצבעה שלו לא משפיעה.

  • יוסי  On פברואר 3, 2009 at 6:45 am

    אני מסכים עם כל ארבע הטענות שלך, אבל אני חושב שרק הרביעית אכן טומנת בחובה תועלת רבה מספיק כדי להפוך את פעולת ההצבעה לרציונלית.

    מי שמצביע כדי להשפיע קרוב לוודאי עושה את הבחירה המוטעית, אלא אם התועלת שלו מהשפעה היא אדירה (בשל חישובי התוחלת מול מחיר, בהתאם לטענות השנייה והשלישית שלך).

    מי שמצביע מסיבות פסיכולוגיות בעיקרן משיג את מטרותיו בהסתברות גבוהה מאוד, ולכן הוא פועל באופן רציונלי.

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 6:52 am

    שלא בגללם הבחירות הוכרעו לצד זה או אחר.

    עם זאת, אמנם לא בארץ, אבל בארה"ב ומקומות נוספים היו בחירות שהוכרעו ממש על קולות בודדים כך שצריך לקחת בחשבון שמשהו דומה יקרה בארץ מתי שהוא.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:01 am

    לדעתי ידידך טועה מבחינת הניתוח הסטטיסטי, אבל צודק במובן אחר. אם דב חנין היה זוכה בבחירות אז הוא בוודאי היה מרגיש גאווה וחלק בניצחון, שזה מבחינתו תועלת נאה. אבל את הקולות לא סופרים בצורה יחסית אלא כל קול נספר בנפרד. מהבחינה הזאת הקול שלו לא היה משפיע בשום דבר על הבחירה או אי-הבחירה בדב חנין לראשות העיריה.

    החלק האחרון של הפוסט הוא איזה גירבוב של הרהורים, אבל הכוונה היא שאנשים מצביעים מסיבות יותר אישיות. או שאולי אתה באמת צודק, והמצביעים באמת ובתמים חושבים שהקול שלהם יכול להיות זה שיכריע את גורל הבחירות. או שהם טועים או שזה פשוט מה שהם רוצים להאמין בו.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:02 am

    ברור שאם כולם לא יצביעו אז אדם אחד שכן יצביע יקח את כל הקופה. אבל אף אחד מאיתנו זה לא "כולם". כל אחד מאיתנו זה רק הוא, והוא מחליט רק בשביל עצמו. במציאות הזאת לקול הבודד אין השפעה.

    אולי חסידי כלכלת השוק יטענו שמספר האנשים שיטריחו את עצמם לקלפי יגיע למצב של שיווי משקל שבו הסיכוי של הקול הבודד להשפיע על תוצאת הבחירות הוא פרופורציוני לטירחה של ההגעה לקלפי וקבלת ההחלטה למי להצביע. בפועל ברור שהרבה יותר אנשים מגיעים להצביע והמספר הזה רחוק מאוד ממצב של שיווי משקל, כך שהסיכוי שהקול הבודד יקבע את התוצאה הוא לא פרופורציוני (בלשון המעטה) להשקעה שהפרט מקדיש לפעולה הזאת.

    ההשוואה לקניית טופס לוטו היא רק מהבחינה של התחושה שהיא מעניקה לרוכש. אתה צודק בכך שאין שום קשר הסתברותי בין קניית כרטיס לוטו לבין הצבעה בבחירות.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:04 am

    בו נסכים שאם הסיכוי שהקול של אדם מסויים ישפיע הוא נמוך יותר מהסיכוי שהוא יפגע בדרך לקלפי בתאונת דרכים (וממילא לא יוכל לממש את זכותו להצביע) אז אין שום ראציונל ביציאה לדרך לכיוון הקלפי. גם אם נגדיר אירוע "סביר" על פי עיקרון השלושה סיגמה, גם אז אנחנו רחוקים מאוד מתחום הסבירות.

    בקשר לתועלת, קודם כל הסיכוי הוא כל כך נמוך שפונקציית התועלת צריכה לשאוף לאינסוף כדי לאזן את זה. אבל גם בלי קשר לזה מידת התועלת היא לא ברורה. שני אנשים בדיוק באותו מצב יכולים להצביע למפלגות מנוגדות. קשה לדעת מי מהם הרוויח ומי מהם הפסיד מתוצאת בחירות כלשהי. מבחינת התועלת בהמובן היבש של המילה, או ששניהם הפסידו או ששניהם הרוויחו. אתה מבין שנוצר כאן פרדוקס מבחינת מה התועלת האמיתית של ניצחון בבחירות של המפלגה שבה בחרת.

    לגבי הנקודה השלישית, עלות ההצבעה היא לא 0. אדם צריך להגיע לקלפי ולחכות בתור, וגם לחשוב ולהחליט ולצפות בתשדירי תעמולה וכו'. הוא מקדיש לכך זמן ומחשבה והעלות של אלה היא לא אפסית.

    לגבי הנקודה האחרונה, זה בערך מה שאני טוען. שההצבעה היא לא במטרה להשפיע על התוצאה אלא משהו יותר אישי.

    לגבי הסתמיות של הטענה, הרבה מאמצים, גם בשוק הפרטי וגם באקדמיה, מופנים כדי לבדוק למה אנשים בעצם מגיעים להצביע. ממש לא הייתי פותר את הטענה הזאת כלאחר יד כ"סתמית", גם אם היא נראית ככה במחשבה ראשונה.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:08 am

    המקרה שמזכירים בהקשר הזה זה הבחירות בארצות הברית בשנת 2000, שאז באמת הרבה אנשים שלא בחרו הביעו חרטה. אבל גם במקרה הזה היה הפרש של כמה מאות קולות, כך שאף מצביע יחיד לא היה יכול לשנות את התוצאה אילו היה מחליט כן להצביע. אבל זה שוב מוביל לכך שלהצבעה האישית בבחירות יש יותר בסיס רגשי וחברתי מאשר יכולת ממשית להשפיע על התוצאה.

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 8:27 am

    לא רוצה להסכים איתך על הטענה בדבר הסיכוי להיפגע.
    אחד הדברים שאני לא אוהב זה שזורקים לי מספרים שאמורים להיות לי ברורים.
    תחילה חשבתי שאני מתכוון אך ורק לסיכוי להיפגע בהליכה ברחוב. מה המספר? יש לך הערכה לגביו? האם גם הוא לא זניח לחלוטין? שהרי אם היה לא היה זניח לחלוטין, לפי הטיעון שלך אולי בכלל לא היה שווה לצאת מהבית לשום דבר, גם לא לעבודה, או לפאב, או לקונצרט.

    אבל אז חשבתי לרגע גם על הסיכוי להשפיע בבחירות. האם אמרת לנו מה המספר הזה? לא ממש. רק אמרת שהסיכוי שהקול שלך הוא זה שיכריע בבחירות שקולות לחלוטין של 4000000 אנשים הוא זניח לחלוטין. ואני הייתי אמור לקבל את זה כמובן מאליו.

    ובכן. הלכתי וחישבתי.
    אני מרשה לך ולמגיבים האחרים לתת ניחוש, בסדרי גודל, מהו באמת הסיכוי שזה יקרה. 1 ל 1000? אחד למאה אלף? אחד למיליון?
    כדי לא להרוס לאנשים אני לא אגיד מה התשובה.
    תחשבו שניה.
    עוד כמה תגובות אני אומר מה התשובה.

    אבל ביודעי את התשובה לשאלה אני יכול להגיד לך בוודאות – הסיכוי שקולך יכריע בבחירות צמודות גבוה מזה שתיפגע בתאונת דרכים בדרך לקלפי.

  • ארנון  On פברואר 3, 2009 at 1:44 pm

    הפוסט וכל התגובות מעלי התייחסו לבחירות בסגנון האמריקאי (2 חלופות, המנצח לוקח הכל) ולא התייחסו לאופן הבחירות בישראל.
    הבוחר הישראלי מצביע כזכור למפלגה, לא לאדם. אם נסכים שכל מנדט קובע (גם אם המפלגה לא זכתה במספר המנדטים הגבוה ביותר, גם אם לא שותפה בקואליציה), הרי שקול הוא מכריע אם היווה את הקול השולי שזיכה את המפלגה במנדט נוסף.
    אם נתחשב בהסכמי עודפים, הרי שבקירוב מסוים, כל מה שמפלגה צריכה הוא שמספר הקולות ה"עודפים" (אחרי החלוקה הראשונית של המנדטים) יהיה גדול מזה של שותפתה להסכם.
    אין לי דרך או יכולת לחשב את זה, אבל נראה לי שבתנאים החדשים שציינתי, הסיכוי של קול להיות המכריע הוא גדול בהרבה מזה שצוין בפוסט.

  • ירון  On פברואר 3, 2009 at 1:57 pm

    הבא ונתחיל בעובדה פשוטה: לקולו של המצביע הבודד ישנה השפעה הגדולה מאפס בכל מקרה (ההשפעה עשויה להיות מכרעת או לא, אבל למעשה לא ניתן לדעת האם קולו של הבודד X או Y היה זה שהכריע). אם מקבלים את ההנחה הזו נותרות השאלות של חשיבות הנושא וכמות המאמץ הנדרש להבאת השפעת הקול הבודד לידי מימוש. בהתחשב בכובד המשקל של ההחלטה הנדונה וכמות המאמץ האפסית, הנדרשת למימושה, אין ספק שההחלטה לנסות ולהשפיע על הבחירות היא רציונאלית לחלוטין. אוסיף ואומר שהעובדה שיש כאלו שמשקיעים מאמץ בקבלת החלטה מושכלת על בסיס ידע שהם צוברים ממקורות המידע הזמינים (מצעים, ראיונות, מאמרים וכדומה) מכתירה גם את צורת הבחירה בין מפלגה א ל- ב בתואר "רציונאלית" וזאת בניגוד לאלו שמצביעים על בסיס רגשי (או ללא בסיס כלל).
    לאור המצוין לעיל, המשקל המדויק שיש לקול הבודד במערכת בחירות נתונה הוא לא רלוונטי. בנוסף לכך סביר להניח שהמספר הזה שונה מתרחיש לתרחיש וניתן לחישוב רק על ידי מומחים בתחום הסטטיסטיקה (ואני ממש לא אחד כזה).
    נקודה נוספת, אם כי משנית, היא עובדת ההשפעה הסביבתית שיש להחלטת הבודד להצביע אם לוא (כמו גם החלטה להצביע עבור צד כלשהוא).
    אציין לסיום כי בחברתנו עמוסת הסקרים ומרושתת האינטרנט יש לעיתים לדעת היחיד משקל נכבד הרבה יותר ממה שהיה צפוי או הגיוני בעבר.

  • יוסי  On פברואר 3, 2009 at 4:21 pm

    ממה שהצלחתי ללמוד ברשת הסכם עודפים מוכרע כך שהמפלגה שזכתה ביותר מנדטים מקבלת את המנדט המשותף לשתי המפלגות שחתמו על ההסכם.

    נדמה לי שהמשמעות של הדבר היא שהסיכוי של קול אחד להשפיע היא ההסתברות של (הסיכוי שהמפלגה שלך תזכה במספר קולות שמתחלק במספר הקולות הנדרשים למנדט) ועוד (הסיכוי שהמפלגה שלך היא המפלגה הגדולה בהסכם העודפים שלה כפול הסיכוי שסכום הקולות שיקבלו המפלגה שלך ומפלגת העודפים שלה יתחלק בדיוק במספר הקולות הנדרשים למנדט). למעשה, זה קצת פחות כי שני האירועים האלו תלויים, אבל קל יותר לחשב כאילו הם לא תלויים.

    לפי ויקיפדיה, בבחירות הקודמות מנדט היה שווה 24,619 קולות. אז נגיד שאני מצביע למפלגה הגדולה יותר בהסכם העודפים, הסיכוי שלי להשפיע על הבחירות הוא 2 ל-24,619, אני חושב.

    קטן מאוד, אבל נדמה לי שהוא גדול יותר מהסיכוי להיות קורבן של תאונת דרכים.

    כמובן, הסיכוי שמנדט נוסף למפלגה שלך יועיל לחיים שלך הוא חישוב נוסף. אבל השאלה היא האם רציונלי להצביע אם הכוונה היא להשפיע על תוצאות הבחירות. כפי שכבר הסכימו כולם, רציונלי להצביע מסיבות פסיכולוגיות רבות.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 5:51 pm

    יוסי וארנון, המודל הדו-מפלגתי הוא אמנם לא רלוונטי לישראל, אבל בחרתי בו רק בשביל לפשט את הבעיה. אין לי מושג איך עובדת שיטת הבחירות בישראל אז אני לא יכול לחשב את ההסתברות שקול בודד יוסיף מנדט למפלגה מסויימת, אבל רק מהתבוננות במספרים אני יכול להעריך שהסיכוי לכך הוא נמוך מאוד. אני חושב שעמית מזלזל שלא לצורך ביכולת שלי להבין מספרים, והוא בעוד כמה תגובות עומד כנראה לתת לנו ניתוח סטטיסטי משלו שמראה שההסתברות להשפיע בבחירות היא גבוהה, אבל הניתוח הזה יהיה שגוי לחלוטין. אני חושב שאני כבר יודע מה עומדת להיות הטעות בניתוח שלו. בכל מקרה, אני עומד מאחורי הדברים שלי, ובלי לדעת מה ההסתברות להפגע בתאונת דרכים אני אומר שההסתברות הזו גבוהה בהרבה מהסיכוי של פתק בודד להשפיע בבחירות צמודות.

    ירון, זה שאנשים בוחרים מפלגה על פי המצע שלה או על פי מה שטוב בשבילם היא טענה שניתן להווכח עליה. לצערי אין לי הרבה מה להציע בנושא הזה, אבל אני יודע שהנושא נמצא בדיון והוא רחוק מלהיות סגור. צריכה להיות ראציונליות מסויימת בפעולת ההצבעה, אבל הראציונליות הזאת לא מתבטאת ביכולת של הפתק הבודד לשנות את התוצאות.

  • avivsky  On פברואר 3, 2009 at 6:08 pm

    לטעמי הנקודה שאתה מצביע עליה רק מבהירה שרציונאליות אינה הדרך הנאותה לפעול בהקשר החברתי.
    עניין הבחירות הוא לא היחיד: איסוף זבל בסוף פיקניק הוא דוגמא זהה. ה"מאמץ" שנדרש לנקות עולה לע ה"ערך" של ניקיון מקום שלא אשוב אליו בקרוב. בכל זאת אני מנקה.

    דוגמא אחרת – עצירה לפני מעבר חציה כדי שאנשים יחצו. אותי זה מעכב.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 6:15 pm

    מסכים איתך במאת האחוזים. לדעתי (וזו דעה סובייקטיבית לחלוטין, יש לציין), כל הניסיון לנתח את הפעולות שלנו בצורה של תועלתנות ורציונאליות מבטלת הרבה ממה שיש בנו כבני אנוש. כבר הרבה מאוד נאמר על אי הנכונות של הנחת הרציונאליות, אבל משהו בגישה הזאת מפריע לי מעבר לזה שהיא סתם לא נכונה. היא נראית לי פשטנית באופן שהוא אפילו קצת מעליב (אותנו, כבני אנוש).

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 6:17 pm

    כיוון שהחליטו מראש שאני עומד לטעות, אני אנסה לנסח בזהירות גדולה את הטענה שלי.
    התסריט ההיפוטתי שלנו הוא כזה: יש 4000001 בוחרים. אני הוא הבוחר ה4000001, וכדי שהקול שלי יהיה זה שיכריע את הבחירות הצמודות צריך להתקיים ששאר 4000000 הקולות יתחלקו בדיוק שווה בשווה.
    ההסתברות הזו, זהה לחלוטין להסתברות שבהטלת מטבע הוגנת 4000000 פעמים, תצא התוצאה "עץ" בדיוק (!) 2000000 פעמים.
    הסיכוי הזה גבוה באופן מפתיע ולא אינטואיטיבי. הוא בקירוב טוב למדי 1 ל 2500
    נכון, לא 1 למיליון, ולא אחד למאה אלף, אלא אחד ל 2500.

    ביום הבחירות הולכים בערך 2.5 מיליון אנשים להצביע בקלפי. לו ההסתברות להיפגע בהליכה לקלפי היתה באותו סדר גודל, ניתן היה לצפות למשהו כמו 1000 נפגעים ביום הבחירות. זה, למיטב ידיעתי, רחוק מאד מהמציאות.

    ליאור – אני מאד אשמח אם תסביר לי איפה אני טועה, ולמה אתה התכוונת.

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 6:33 pm

    אינה נכונה. הרי אנשים כשהם הולכים להצביע לא משווים את הסיכוי שלהם להשפיע בבחירות לסיכוי להפגע בתאונת דרכים, אלא לסיכוי שלהם להשפיע אם הם לא מצביעים. אם אנשים היו חושבים על הסיכון להפגע מתאונת דרכים הם לא היו עושים הרבה דברים אחרים אבל השוואה כזו לא נערכת. אפילו לטוס במטוס יותר בטוח מלנסוע במכונית ועם זאת יש הרבה יותר אנשים שמפחדים לטוס מאשר לנסוע באוטו.

    אני חושב שזה דומה למחקרים המפורסמים של טברסקי וכנהמן. הרציונליות שאנשים פועלים לפיה אינה בהכרח כלכלית או תועלתנית.

    אני חושב שהסיבה שאנשים מצביעים קשורה יותר להתפתחות המוח שלנו מבחינה אבולוציונית. תאונות דרכים לא היוו חלק מהאבולוציה שלנו ולכן הן לא מפחידות אותנו. לעומת זאת, הצבעות בשבט היו כנראה יותר נפוצות. אלא מה? הצבעות כאלו נעשו בקנה מידה קטן ולכן סביר שהיו בחירות הרבה יותר צמודות מאשר בבחירות שיש היום. לאנשים קשה לתפוס מספרים אסטרונומיים אבל המוח שלהם עדיין בנוי לנתח אירועים על פי קנה מידה קטן ולכן התחושה שיש לקול שלהם השפעה.

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 6:37 pm

    אתה מניח שכל בחירות הן כמו הטלת מטבע בעוד שרוב מוחלט של הבחירות יש יתרון לצד זה או אחר מה שמקטין מאוד את הסיכויים שיהיה תיקו מוחלט. להערכתי, לא חישבתי, גם במקרה שתארת הסיכויים הרבה יותר נמוכים. אשמח לראות את החישובים שלך או אולי אם יש סימולציה של הנושא.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 6:45 pm

    גיל, זה בדיוק מה שאני אומר. אנשים לא מחשבים אם הסיכוי שלהם להפגע בתאונת דרכים גבוהה יותר מהסיכוי שלהם להצביע בבחירות. אם הם היו עושים זאת ופועלים לפי כללים כאלה הם לא היו הולכים להצביע (ובאופן כללי העולם שלנו היה יותר עצוב, לדעתי). אנשים פועלים לאו דווקא בצורה תועלתנית (שניתן למדוד אותה). אני לא יודע אם התשובה לכך היא אבולוציונית או לא. זה כבר התחום שלך. מה שאני יכול לקבוע בוודאות זה שהסיבה שאנשים מצביעים היא לא בגלל שבאמת יש להם את היכולת להשפיע על התוצאה.

    עמית, עשית בדיוק את הטעות שצפיתי שתעשה. אני משנה משהו בפוסט וכבר חוזר אליך עם הסבר.

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 7:02 pm

    אין שום בעיה בטיעון שלי. הנחתי הנחה, ועשיתי אותה באופן גלוי – שהבחירות שקולות מאד ולכן סביר להניח שקול של אדם ספציפי שנבחר באופן אקראי מתפלג חצי חצי לכל מפלגה. זו הנחה סבירה בכל מידול מתמטי שאני מכיר. בכל מקרה – אם יש משהו שגוי זה לא הטיעון שלי זו ההנחה הזו – אתה מוזמן לנסות לתת תיאור פורמלי אלטרנטיבי של הטענה "הקול שלי מכריע בחירות שקולות". להערכתי התיאור שלי הוא טוב למדי וסביר.

    לגבי החישוב – לא טעיתי בחשבון, וגם לא צריך סימולציה מסובכת.
    התפלגות בינומית שואפת להתפלגות נורמלית עבור מספרים גדולים, ולכן קל יחסית לחשב את ההסתברות של הממוצע. היא שווה בדיוק 1 חלקי השורש של שני פיי כפול השונות.
    דרך אחרת לחשב את זה היא באמצעות הנוסחא הישירה להתפלגות בינומית ולהעריך את הביטוי תוך שימוש בנוסחת סטירלינג. הכלל הוא שבקירוב ההסתברות של הממוצע בהסתברות בינומית מתנהג בערך כמו 1 חלקי שורש N עבור N גדול.

    ליאור: לא יפה לשנות את הטיעונים שלך בדיעבד. את כל הטיעון שלי בניתי על הפוסט המקורי שלך. אין לי מושג מה אתה הולך לשנות, אבל אולי פשוט תסביר לי איפה טעיתי. או כמו שאמרתי לגיל: ההנחה שהנחתי נראית לי סבירה. אנא תסביר מדוע אינך מקבל אותה ואיזה פורמליזציה אלטרנטיבית יש לך לטענה "הקול שלי הוא זה שמכריע בחירות שקולות".

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 7:33 pm

    בהנחה. ההנחה שהבחירות בדיוק שקולות היא לא מעשית, ומספיק שיש לך סטייה קלה, נניח 0.49 לעומת 0.51 שהסיכוי לכל בודד להשפיע אפסי מבחינה סטטיסטית.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:33 pm

    עמית, קודם כל לא שיניתי שום דבר בדיעבד. רק הוספתי מספרים שממחישים עד כמה הסיכוי נמוך.

    כשאתה כל כל בטוח בעצמך אני בספק אם אוכל להסביר לך למה המודל שלך הוא שגוי לחלוטין מבחינת סטטיסטיקה, אבל אנסה בכל זאת.

    מה שעשית זה הנחת שמאורע מסויים מתקיים, ואז חישבת את ההתסברות בהנחה שהמאורע אכן התקיים. במונחים בייסיאניים, אתה לקחת את ה-Y תוך שאתה מתעלם לחלוטין מה-X. בסטטיסטיקה זה לא עובד ככה.

    מה שגיל ציין הוא נכון. ההנחה שההתפלגות היא בדיוק 0.5 היא בסך הכל מיקרה ספציפי שיש לו משמעות עצומה. אולי לאדם שאינו עוסק במספרים זאת נראית נקודת מוצא היגיונית, אבל אני יושב מול מספרים יותר מדי שנים מכדי שדבר כזה יוכל לעבור ליידי.

    אין שום בסיס, אבל שום בסיס, להניח שבבחירות צמודות ההסתברות להצביע לכל אחת משתי המפלגות היא *בדיוק* 0.5. מה שכן ניתן להניח (מעצם היות הבחירות צמודות), היא שההסתברות היא *כמעט בדיוק* 0.5. ההבדל במקרה הזה בין *בדיוק* לבין *כמעט בדיוק* הוא פשוט אסטרונומי. כמו שהוספתי לפוסט, במקרה שההצבעה היא 0.49/0.51 (עדיין בחירות מצודות מאוד). ההסתברות שקול בודד יכריע את הבחירות היא מספר נמוך בצורה אסטרונומית.

    בשפה פשוטה, הטעות שלך היא שהיית צריך לחשב את ההסתברות שהמאורע יתרחש, ואז לחשב את ההסברות שבהינתן והמאורע אכן התרחש קול בודד ישפיע על הבחירות. אחרת הסטטיסטיקה שלך היא פשוט שגויה. אם נניח שבבחירות צמודות כל תוצאה בין 51% ל-49% יכולה להתקבל (הנחה סבירה ביותר), אז ההסברות שקול בודד ישפיע על הבחירות היא משהו כמו 10 בחזקת -100.

    אני לא יודע אם שכנעתי אותך או לא, אבל זה פשוט המצב.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 7:35 pm

    ואפילו הקדמת אותי ב-10 שניות.

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 8:03 pm

    שמתבטאת במשפט האחרון שלך ובטענה השוגיה לחלוטין שלך שאני כל כך משוכנע. יש לי ראש פתוח לחלוטין, וכמו שהצעתי אני פתוח לשמוע מודלים אלטרנטיביים.

    ראשית גיליתי שאנחנו מסכימים על המודל הסטטיסטי הבסיסי: התפלגות בינומית וחישוב ההסתברות שיהיה תיקו מוחלט.

    ההבדל בינינו הוא שאני השתמשתי ב הסתברות של 50% ואתה של 51%.
    כל השאר הוא רטוריקה שלך , שאינה מובנת לי לחלוטין, מדוע השימוש ב 51% הוא סביר יותר לחישוב ההסתברות מאשר 50%.

    בדבר אחד אני מסכים איתך – המספר הסופי מאד רגיש לתנאי ההתחלה.

    מה שכן, לא הנחתי ששום מאורע מתקיים. הנחתי רק הנחות למודל הסטטיסטי. וההבדל בינינו מתנקז לשאלה מהו הביטוי הפורמלי לעובדה שבחירות הן "שקולות".

    באותה מידה יכולתי לטעון, שאם אתה מניח מלכתחילה שהסיכוי לבחור במפלגה מסויימת הוא 51%, ובהנחה ש N גדול מספיק
    בעצם הנחת את המבוקש – כי עצם הגדרת מודל כזה מכריעה כבר את הבחירות. ברור שבמודל שבו למפלגה מסויימת יש יתרון מובנה מעצם הגדרת המודל – הסיכוי שהקול שלך יכריע את הבחירות הוא קטן מאד. הבחירות הוכרעו (בהסתברות גבוהה מאד) עוד לפני שהן התחילו.

    בוא נלך שלב אחד קדימה בחיפוש אחר מודל ששנינו נסכים עליו ויתאר את המצב טוב יותר.

    נניח שברקע אכן עומד בינומי, אלא שבניגוד למודלים ששנינו הצענו, אנחנו לא יודעים מה הפרמטר, אבל שיש לנו הסתברות א-פריורית כלשהי לגבי מה הפרמטר הזה יכול להיות. נניח, למשל שעל סמך סקרים אנחנו יכולים להגיד שבהתפלגות אחידה כל ערך בין 49% ל 51% הוא סביר, וערכים אחרים אינם סבירים.
    עכשיו מטרתנו היא לגלות את התוחלת של ההסתברות של שוויון, תחת ההנחות האלה (כולל ההסתברות הא-פריורית).

    זה מודל בייזיאני הרבה יותר מורכב מהמודל הפשוט שגם אתה וגם אני הצענו. וגם אין לי כרגע אינטואיציה טובה מה תהיה התוצאה של מודל כזה. סביר מאד להניח שהיא תהיה יותר קטנה מהמספר שאני אמרתי, ויותר גדולה מהמספר שאתה אמרת. בכמה? אני כרגע לא יודע. כאן דווקא בימולציה יכולה לעזור.

    ואז כמובן אפשר לשאול, רגע, למה בחרתי דווקא את ההסתברות הא-פריורית הזו? אולי עדיפה התפלגות אחרת.

    אני גם יכול לחשוב על מודלים אחרים לגמרי, שלא מבוססים על התפלגות בינומית כלל, שיישמעו סבירים למדי לבדיקת הערך של הצבעה בבחירות צמודות. תורת המשחקים מספקת לא מעט מודלים שכאלה ל"ערך של שחקן" במשחקים בהם תוצאת המשחק נקבעת באופן שיתופי.

    בקיצור – לא שכנעת ש51% עדיף על 50% בהגדרת "בחירות צמודות".
    אבל הדגמת יפה מאד איך בחירת המודל, על ההנחות הבסיסיות שהוא מניח, אשר לפיו בודקים ומכמתים את הטענות לרציונליות – מאד משפיעים על התוצאות.

    בסופו של דבר, אני לא חושב שיש הרבה הבדל במסקנות שלנו. שנינו מאמינים שהצבעה בבחירות לא נעשית מסיבות של תועלת אישית ישירה הנובעת מתוצאות הבחירות.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 8:24 pm

    לא הבנת את הכוונה.

    המצב של 0.51 לעומת 0.49 הוא רק דוגמא לכך שהתוצאה מאוד רגישה להתפלגות הבחירה. לא אמרתי שזאת ההנחה שאני מתבסס עליה. ההנחה שאני כן מתבסס עליה היא שההתפלגות היא לא בהכרח *בדיוק* 0.5, ואין שום בסיס לקבל הנחה כזאת. ברור לך שכל מספר אחר, אפילו אם הוא שונה במעט, מביא למספרים נמוכים מאוד.

    אם לא לוקחים שום התפלגות מראש, אלא בודקים *כל התפלגות אפשרית* בין 0.51 ל 0.49 ואת הסיכוי שקול בודד ישפיע על הבחירה בהנתן התפלגות כזאת מגיעים למצב שההסתברות שקול בודד יכריע את התוצאה היא בערך 10 בחזקת -100. אי אפשר לכתוב כאן אינטרגלים אז אני לא יכול לנסח את זה באופן פורמלי, אבל זה בכל מקרה מספר מאוד מאוד מאוד נמוך.

  • עמית  On פברואר 3, 2009 at 8:30 pm

    ויש לנו אולי ויכוח על ההתפלגות הא-פריורית שעל פיה תחשב את התוחלת הרצויה.
    אני יכול להסתדר עם האינטגרלים לבד. תודה.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 8:31 pm

    כל מספר שהוא לא *בדיוק* 0.5 יביא למספרים נמוכים מאוד. אין שום סיבה בעולם שהמספר הזה יהיה *בדיוק* 0.5. זה יכול להיות כל מספר קרוב לכך. לכן לא קיים מקרה סביר שקול בודד יכריע את תוצאת הבחירות. זה קצת הסבר של ניפנופי ידיים אבל אני מניח שהאינטואיציה של ההסבר הזה היא ברורה.

  • ליאור  On פברואר 3, 2009 at 8:34 pm

    למה את חושב שההתפלגות צריכה להיות 0.5? לדעתי אין בסיס להנחה הזאת. לדעתי זה יכול להיות כל מספר (בטווח סביר ביחס למידת ה"צמידות" של הבחירות). למה אתה חושב שזה דווקא 0.5?

  • yoav  On פברואר 3, 2009 at 9:10 pm

    אני לא מבין הרבה בהסתברות אבל ההסבר של עמית נשמע משבנע:
    אם אני שוקל אם ללכת להצביע אני חושב לעצמי: מתי הקול שלי יהיה זה שיכריע? התשובה היא כשהתוצאות הם בדיוק
    50:50
    ועמית חישב שזאת לא הסתברות כל כך נמוכה ולכן כדאי לי ללכת להצביע. בקיצור עמית בחר 50:50 לא באופן שרירותי אלא כי זה המקרה היחיד שבו הקול שלך יכול להטות את הכף ולכן זאת האפשרות שצריך לבחון

  • ד.ט  On פברואר 3, 2009 at 9:37 pm

    האם היית טוען למשל, שאדם שמכניס שיקול סביבתי להחלטה שהוא מקבל (למשל, מעדיף רכב חשמלי על ג'יפ האמר כיוון שהוא פולט פחות גזי חממה) פועל בצורה שאינה ראציונלית? הרי ההסתברות, שדווקא מנת הפחמן הדו-חמצני הצנועה שיפלוט או לא יפלוט הרכב שלך תמיס את הקרחונים, או תגרום למישהו לחלות באסטמה, היא קרובה מאד לאפס.

    כתבתי על כך בבלוג שלי כאן:
    http://israblog.nana10.co.il/blogread.asp?blog=105922&blogcode=10493833

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 9:37 pm

    או שההתפלגות היא 50-50, לא אומר שהיא באמת כזו. הסיכוי שהמצב באוכלוסייה בדיוק שווה הוא אפסי. וגם במקרה הנדיר ביותר שזה יקרה, אתה צריך להוסיף לזה הסתברות די קטנה שהקול שלך יהיה זה שיכריע מה שכמעט לא קורה.

    למעשה לא צריך לחשב את זה, אלא פשוט לראות את כל הבחירות שהיו אי פעם בעולם. אני לא מכיר מקרה שבחירות כלליות הוכרעו על חודו של קול. היו מקרים כמו לבחירות לראש עיר קטנה שהבחירות הוכרעו כך אבל אז מדובר בכמה אלפי הצבעות ושם באמת זה יותר סביר.

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 9:43 pm

    כתבתי עליה. יש סוגים שונים של רציונליות ואם אנשים לא פועלים רציונלית בצורה אחת אין זה אומר שהם לא רציונלים בכלל.

    יש כאן גם שני דברים נוספים שקשורים: פרדוקס הקרח, מתי יש מאסה קריטית שנחשבת למשהו והדבר אולי הכי חשוב וזו תופעה פסיכולוגית ידועה של פיזור אחריות. אני מניח שכל האחרים יצביעו אז לקול שלי אין משמעות, אבל אם כולם חושבים כמוני אז ההנחה הזו שגויה.

  • yoav  On פברואר 3, 2009 at 10:38 pm

    אם הבנתי נכון את עמית, אז הסכוי שאם ההצבעה היא אקראית לגמרי – כל אחד בוחר אקראית אחד משני פתקים – אז ההסתברות היא לא אפסית, אלא היא נמוכה (נמוכה מספיק כדי שאף פעם לא יצא לך לראות כזה מקרית) אבל בשביל המבחן ההיפוטתי שהיה כאן היא בפרוש לא אפסית ובטח יותר גבוהה מלההרג ברחוב ביום נתון.
    בתור מדען אתה צריך לדעת שהטעון שאתה לא מכיר מקרה כזה הוא לא בדיוק טעון חזק במיוחד כשמדברים על הסתברויות נמוכות כאלה
    לא טענתי שזה באמת השיקול שעובר לאנשים בראש רק אמרתי שההסבר של עמית נכון מבחינת הבחירה הלא שרירותית בהסתברות 50:50

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 11:05 pm

    לכל אחד יש דיעה על הבחירות שהוא מביא אותה לקלפי. גם אם נניח שהפער בין המתמודדים לא יכול להיות יותר מ20% (כלומר חלוקה של 60-40), אין שום סיבה לחשוב שאף אחד מהחלוקות הללו לא נמצא בסבירות דומה לזו של 50-50. כלומר יש כאן שני שלבים: אחד, הסבירות שזה 50-50 שזו סבירות די נמוכה, והשנייה מה יקרה אם זה 50-50. חישוב ההסתברות המותנית הזו נותן הסתברות כמעט אפסית.

    ברור שאי הכרות עם מקרים כאלו אינה הוכחה, אבל היא מראה את חוסר הסבירות של ההנחה שזה 50-50. אם באמת הסיכוי היה 50-50 בהרבה הצבעות, אז סביר שהיינו מוצאים יחסית הרבה מקרים של הצבעות צמודות מאוד. העובדה שזה לא קורה מרמזת כנראה שההסתברות האפריורית ל50-50 הרבה יותר נמוכה. כשחושבים על זה בהגיון, אין שום סיבה להניח שהיא אכן שונה מהסתברויות אחרות. אני חושב שבגלל הנטייה שלנו למספרים יפים, או לרצות לפשט את המודל מוביל אותנו לבחירת ההסתברות הזו דווקא.

    לגבי תאונות הדרכים, צריך לזכור שגם אם לא נהרגים הרבה אנשים כל יום, מתרחשות עשרות אם לא מאות תאונות בדרגות חומרה שונה כל יום. מספיק שהאוטו שלך "נדפק" כדי שזה יהיה מחיר די גבוה (למרות שאני אחזור ואומר שההשוואה הזו בעייני היא חסרת ערך).

  • גיל  On פברואר 3, 2009 at 11:08 pm

    50-50. בחירות אינן מתקיימות בחלל ריק. לרוב יש מועמד מכהן (או ממשיך דרכו של מועמד מכהן) ומולו מועמד חדש. לציבור יש דיעה בקשר למה שקרה לפני הבחירות, בין אם הם בעד המשך השלטון או החלפתו. אין כאן שום דבר אקראי בתהליך הזה. התפלגות הדיעות יכולה להיות בכל הסתברות ואם זה נופל במקרה על 50-50 זה בדיוק מה שזה, מקרי ולא משהו מעבר לכך.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 12:58 am

    בהמשך למה שגיל כבר כתב, המוח האנושי הוא דבר מורכב ומסובך. אין דרך לבדוק מה באמת ההסתברות להצביע לכל מפלגה בכל מערכת בחירות. בגלל האופי המורכב של המוח, כנראה שגם אם היתה דרך לבדוק את זה, המספר לא היה יוצא 0.5 עגול ויפה. אולי במערכות בחירות צמודות זה היה קרוב לזה, אבל אף פעם לא בדיוק 0.5 עגול באופן מושלם. בגלל זה אין סיכוי סביר שקול בודד יוכל להכריע את הבחירות.

    בגלל זה הטענה של גיל לבדוק בחירות היסטוריות היא לדעתי לא מופרכת בכלל. בגלל שאנחנו לא יכולים למדוד את המוח בצורה כמותית, הדרך היחידה לבדוק כיצד מתפלגת ההצבעה היא על ידי בדיקה של תוצאות של בחירות היסטוריות. אם תוצאות עבר היו מלמדות על התפלגות אקראית סביב ה-50 אחוז אז היינו יכולים ללמוד מכך שההסתברות להצביע לאחת משתי מפלגות היא אכן אקראית, ולכן 0.5. היו כבר די והותר מערכות בחירות בשביל ללמד אותנו את זה. אבל העבר (וגם ההיגיון הבריא) מלמד אותנו שזה לא כך, ומראה לנו בצורה ברורה וחד משמעית שהפתקים אינם מושלכים לקלפי בצורה אקראית. כפי שהראתי, אפילו הטיה קטנה מאוד מה-0.5 מביאה לכך שההסתברות של קול בודד להכריע את הבחירות היא נמוכה בצורה אסטרונומית.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 12:59 am

    אני בדיוק מסכים איתך, וזו הכוונה של הפוסט. אני טוען שבני אדם הם לא רובוטים המתוכנתים לפעול רק בצורה שמביאה להם תועלת במובן היבש ביותר של המילה. בני האדם הם יצורים מורכבים, ולא פועלים תמיד בתבנית ה"ראציונליות" (וטוב שכך).
    זה מעניין שנראה שכמה אנשים כאן נעלבו במידה מסויימת מכך שטענתי שהם לא פועלים בצורה ראציונלית. זה לחלוטין לא עלבון. גם אני לא פועל בצורה ראציונלית, ואני מודע לכך

  • yoav  On פברואר 4, 2009 at 3:37 am

    אין לי ויכוח איתכם לגבי זה שזה לא סביר שיקרה. כל מה שטענתי זה שההסבר של עמית בהינתן ההנחה של אקראיות הוא נכון ולמען האמת אותי הפתיע בהסתברות הגבוהה שלו.
    בכל מקרה לגבי המסקנה של הפוסט שזה לא מעשה רציונלי אני כמובן מסכים

    חוץ מזה אני עדיין חושב שהטיעון שזה עוד לא קרה הוא טיעון חלש, בגלל שהיו הרבה פחות מ 2500 מערכות בחירות דו-מפלגתיות צמודות יחסית כך שבאמת אי אפשר להסיק מזה כלום

  • עמית  On פברואר 4, 2009 at 3:43 am

    תחילה, כל אחד מאיתנו בנה מודל אחר לבעיה. אני בניתי מודל פשוט (פשטני?) בו בחירות צמודות הן כמו הטלת מטבע בהסתברות 0.5 לכל צד, ושאלתי את השאלה מה ההסתברות שיצא בדיוק תיקו. התוצאה היתה קצת לא אינטואיטיבית, כלומר גבוהה למדי.

    אתה (כלומר ליאור) בנית מודל אחר לבחירות צמודות. אמנם גם אתה התבססת על מודל דומה לזריקת מטבע הרבה פעמים, אבל בניגוד אלי לא הנחת שהסיכוי הוא בדיוק 0.5 אלא אמרת שאנחנו לא יודעים מהו הסיכוי הזה ושכל מה שאנחנו יודעים הוא שהוא נע בין 0.51 ל 0.49

    מתוך שלל המקרים האלה נתת דוגמא אחת, המקרה של 0.51, והראית, וצדקת, שבמקרה הזה, ובהנחה שיש 4 מיליון בוחרים הסיכוי שיהיה שוויון בדיוק הוא אכן זניח. אי שם בסביבות 1 ל 10 בחזקת 350.

    עוד הוספת ואמרת שזוהי רק דוגמא אחת, ושהדבר הנכון לעשות הוא לעשות "ממוצע" על פני כל הערכים האפשריים בין 0.49 ל 0.51

    אני אמנם ניסית להקשות ולשאול על פי איזו התפלגות לעשות את הממוצע הזה, אבל זו שאלה צדדית – ונראה לי שהתפלגות אחידה על הטווח הזה הוא משהו ששנינו מסכימים עליו.

    עד כאן, נראה לי שאנחנו מסכימים.

    אתה הוספת אז או שלפת מהשרוול, שהתוצאה של התרגיל הזה (ממוצע על פני כל הערכים האפשריים) היא אי שם בסביבות 1 ל 10 בחזקת 100. לא סיכוי קטן כמו המקרה שהבאת כדוגמא, אבל עדיין מספר זניח למדי. להזכירנו – אנחנו מנסים לבדוק האם הסיכוי שהצבעתך תכריע את הבחירות קטנה או גדולה יותר מהסיכוי שתיפגע בתאונת דרכים בדרך לקלפי.

    לא התעצלתי. והלכתי וחישבתי את המספר המדוייק.
    למגינת לבך (אולי), גיליתי שהמספר המדובר רחוק מאד מהמספר שנתת.
    הממוצע על פני כל האפשרויות בין 0.49 ל 0.51 הוא בערך 1 ל שמונים אלף. זהו. לא יותר קטן מזה.
    בדקתי את עצמי כמה פעמים, וחישבתי את המספר בשתי שיטות שונות. אני בטוח למדי בחישובים ואתה מוזמן לבדוק בעצמך.

    המסקנה, אם כן, שגם תחת המודל היותר מורכב שלך לבחירות צמודות, אותו מודל שעל פיו בנית את הטיעונים בפוסט המקורי – גם כאן הסיכוי שאדם בודד יכריע את הבחירות הוא אמנם קטן, אבל ממש לא זניח.

    לא זה היה סדר הגודל של הסיכוי להיפגע בתאונה בדרך לקלפי, ובהנחה שבפועל מגיעיל כ 2.5 מיליון אנשים להצביע – בערך 30 אנשים היו צריכים למות בתאונת דרכים ביום הבחירות. מספר לא סביר בעליל.

    מעבר לזה – אני כמובן מסכים עם המסקנה הסופית שלך שההחלטה של אדם אם להצביע או לא נעשית מסיבות לא רציונליות, ובוודאי שלא על פי תועלת ישירה שנגרמת לו מהשפעה ישירה על התוצאות. אב אפילו שאני מסכים עם קביעתך הסופית, לא אהבתי ואינני מסכים עם הטיעונים שלך שזורקים לאוויר מספרים שקשה לקורא לברר ולבדוק, ושאין להם שום כיסוי.
    הסיכוי שאדם יכריע בחירות צמודות הוא אמנם קטן מאד, אבל באופן לא אינטואיטיבי, הוא גם לא זניח. ככה זה בהסתברות וסטטיסטיקה. כשמגדירים את המודלים במדוייק, מגלים לעתים שהתוצאות שמתקבלות אינן מתיישבות עם האינטואיציה.
    לכן צריך להקשיב בחשדנות ישירה לטענות דוגמת אלה שהבאת.

  • גיל  On פברואר 4, 2009 at 4:15 am

    1 ל80,000 זה מאוד זניח (קרוב לאלפית האחוז!) בהתחשב בזה שבחירות הן מאורע נדיר למדי. אם תוסיף לזה את העובדה שברוב הבחירות ההבדלים הם יותר גדולים מ2% אז אני בהחלט חושב שאפשר להתייחס לסבירות שזה יקרה כאפסית.

    גם לגבי התאונות אתה בוחר להסתכל על הדברים בצורה מוטה (ומעוות מה שליאור כתב). הוא כתב על ההסתברות לתאונה ולא על הסיכוי לההרג בתאונה. אני בטוח שביום ממוצע יש יותר מ30 תאונות דרכים בדרגות חומרה שונות.

  • גיא  On פברואר 4, 2009 at 10:58 am

    אם אתה טוען לאחר ידיעת תוצאות הבחירות שקול של אדם מסויים לא השפיע על הבחירות (כלומר זו הנחת היסוד שלך) אתה יכול להמשיך באינדוקציה גם לאדם הבא ואז לבא ולבא אחריו. בסופו של דבר תגלה כי התוצאות השתנו והנחת היסוד שלך כי אין השפעה למצביע הראשון הייתה שגוייה.

  • עמית  On פברואר 4, 2009 at 11:59 am

    יש הבדל גדול בין 1 ל80000, ו1 ל 10 בחזקת 100.
    הבדל של מעל 90 סדרי גודל. לא הבדל זניח בכלל.
    מה שקובע מה זניח ומה לא הוא הדבר אליו משווים.

    אופן הטיעון של ליאור היה כזה שהסיכוי להכריע הוא כל כך זניח ששום דיון סביבו לא ראוי.ואני הראתי שזה לא המצב.
    מה שהפריע לי בעיקר זה אפילו לא אופן הטיעון הזה, אלא הטון שנלווה לו – שהיה לעתים מתנשא ודמגוגי. כשבן אדם אומר לי להאמין לו כי הוא מבין במספרים ועוסק בהם שנים רבות, ואז זורק מספר שאין מאחוריו הרבה כיסוי ועוד מצהיר מראש שכל ניתוח שאני אביא הוא מראש שגוי ומראה על אי הבנה, ושכדאי לי להשתכנע כי פשוט "ככה זה".
    זה מעצבן אותי.
    זה עוד יותר מעצבן אותי כשזה מגיע ממישהו שמתהדר בתואר "מדען".

    חלק מלהיות מדען זה להיות ספקן. זה לבדוק את עצמך שוב ושוב, להבהיר את עצמך עד כמה מדוייק שאפשר, וגם להודות בטעויות כשעושים אותן. גם צניעות אינטלקטואלית לא מזיקה אף פעם. לליאור, וגם לך יש לא מעט מהתכונות האלה (כך לפחות עולה מן הפוסטים שלכם כאן), אבל לפחות בדיון הזה היו חסרות כמה מהתכונות האלה לשניכם.

  • יונתן  On פברואר 4, 2009 at 1:32 pm

    המודל שלפיו אתה בוחן את כדאיות ההצבעה לא מתקיים בישראל בגלל השיטה הרב מפלגתית והסכמי העודפים.

    בעיה נוספת היא שאתה שוקל את ההשפעה של אדם מסוים ובבחירות אנחנו מדברים על אוכלוסיות,כאשר גודל האוכלוסיה הוא הקבוע,אולי נכון יותר להסתכל על מודל משתנה מקרי רציף אחיד בו לכל נק' יש הסתברות כמעט אפסית אבל לרצף(או לקבוצה במקרה הזה) יש הסתברות מסוימת.

    תחת המודל הרציף ניתן לראות שהגדלת הרצף(קרי הגדלת קבוצת המצביעים למפלגה מסוימת) משפיעה על סיכויי ההצלחה שלה.

    לסיום צריך ללכת על מקרה פרטי מתורת המשחקים שבו כל שחקן עושה דבר שברמה המקומית לא כדאי לו אבל אם כולם עושים זאת אז כל הקבוצה מרוויחה וכתוצאה מכך כל שחקן כשלעצמו מרוויח.

    המקרה מקושר מאוד לדילמת האסיר אלא שההבדלים נובעים מכך שבדילמת האסיר השחקנים לא יודעים זה על זה וקיימת מבחינתם סכנה שהצעד ה"אלטרואיסטי" יפגע בהם,כאן יש פרסום רב
    והשחקנים(המצביעים) כן יודעים אלו על אלו ואין סכנה להפסד בצעד האלטרואיסטי.

    דבר נוסף,אם מסתכלים תחום הרווח וההפסד במשמעותו הדמוקרטית כלומר קידום המפלגה הרצויה אז חייבים ללכת להצביע כי בהצבעה האזרח לא יכול להפסיד ועשוי להרוויח בעוד שבאי הצבעה האזרח עלול להפסיד אבל לא עשוי להרוויח. (לא חושב שהשקעת הזמן בתהליך הבחירה רלוונטית מכיוון ומקבלים יום חופש לצורך הבחירה,מי שלא הולך לבחור לא אמור להיות זכאי ליום חופש מלכתחילה)

    הצבעה היא עניין רציונלי לא בגלל שניתן להוכיח שהיא משפיעה אלא בגלל שאנשים תופסים את ההצבעה כמשפיעה ולכן מבחינתם עושים את הצעד הרציונלי ומצביעים.

  • יוסי  On פברואר 4, 2009 at 5:08 pm

    ראשית, אף אחד לא התייחס לחישוב ההסתברות שלי, בשיטה הרב-מפלגתית, וזה חבל לי. אני רוצה לדעת אם הוא נכון, ולמרות שגם אני, כמו ליאור, מתעסק עם מספרים כל היום בעבודתי כחוקר באקדמיה, אני לא חכם גדול בסטטיסטיקה, אז אשמח להתייחסות.

    שנית, יש להפריד בין שאלת ההסתברות להשפעה על הבחירות בהצבעה, לבין שאלת התועלת בהצבעה לבחירות אם המטרה היא רק להשפיע עליהן, לבין שאלת התועלת בהצבעה לבחירות אם ישנן גם מטרות אחרות. אלו שלוש שאלות שונות שעלו כאן.

    באשר לנימה המתנשאת של ליאור, לטענת עמית, לא הבחנתי בכזו. ובאופן כללי, לא צריך להתרגש מהתנשאות כל כך ולא צריך לפתח רגישות לנימה מתנשאת. כל השאלה היא אם ליאור מתעמת באופן הוגן עם הטענות שאתה מעלה, עמית. אגב, כמי שעקב בעניין אחרי הפוסט הזה מההתחלה, זה אתה, עמית, שהתחיל עם נימה לא נאה, כשאמרת שהפוסט שטחי וסתמי. חבל, הדיון מעניין ואין סיבה להפוך אותו לריב רגשי.

  • גיל  On פברואר 4, 2009 at 5:35 pm

    אין שום משמעות להבדלים בחישוב ההסתברויות שלך ושל ליאור. בסדרי גודל כאלו, ההסתברות עצמה חשובה ולא ההבדלים ביניהם. אין שום משמעות להבדלים בין אחד למאה אלף, אחד למיליון או אחד למיליארד בקונטקסט של מערכות בחירות למרות שיש לכאורה הבדלים משמעותיים ביניהם. לכן המסקנה של ליאור עדיין בעודה עומדת שהסיכוי זניח.

    עם כל הכבוד, גם לך עמית לא חסרה התנשאות בשרשור הזה. אתה קובע בצורה חד צדדית ש"הוכחת" שהסיכוי לא זניח בלי בכלל להסביר מבחינה מהותית למה המספר שאתה הגעת אליו (תוך הנחות לא ראליות להזכירך) לא זניח. גם פרשת בצורה שנוחה לך מעורבות בתאונת דרכים כאילו משמעה למות מתאונת דרכים כדי שזה יתאים למספרים שלך. גם לי זה לא נראה התנהגות "מדענית" במיוחד, ובכל מקרה זה בלוג, לא כתב עת אז כל ההטפות הללו קצת מיותרות בעיניי.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 5:37 pm

    הניתוח שלך הוא (שוב) שגוי, אבל בו נעצור כאן. אם העברת את הדיון לגופו של אדם ועברת לגידופים אישיים אז אני לא רואה איך אנחנו יכולים להמשיך את הדיון. בקשר להתנשאות, אני מציע לך לקרוא שוב את התגובות שלך לפוסט הזה, החל מהתגובה הראשונה שלך, ולבדוק מי מתנשא כאן על מי. אני מקבל את חוקי האי-התנשאות שהגדרת, אבל הם צריכים לחול גם עליך

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 5:43 pm

    אבל אני מבין למה אתה מתכוון. ההנחה היא שכל אדם הוא רק הוא, והוא שולט רק במה שהוא עושה. יש משהו במה שאתה אומר, והתייחסתי לזה באחת התגובות הקודמות כשמישהו העלה את העניין. לפי מה שאתה אומר אחוז ההצבעה היה צריך להעצר במצס של שיווי משקל כלשהו, אבל בפועל מצביעים הרבה יותר אנשים. אפשר לראות את זה בקלות לפי זה ש*מספר* המצביעים הוא לא קבוע במדינות בעלי כמות אוכלוסיה שונה אבל שיטת בחירות דומה. כלומר, שתי מדינות יכולות להיות בעלות אותה שיטת בחירה אבל מספר תושבים שונה לחלוטין, ושיעור ההצבעה בהן יהיה די דומה.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 5:51 pm

    קשה לי להתייחס להצבעה לפי מנדטים כי אני לא מכיר את הכללים של השיטה הזאת (כמה אנשים שמצביעים כן מכירים). גם במקרה הזה המספרים הם גדולים מספיק בשביל שההסתברות להשפעה של קול אחד תהיה נמוכה מאוד, ובכל מקרה אם זה מגיע לרמה של קול בודד (או כמה קולות בודדים) מי שיכריע יהיה בסופו של דבר בית המשפט.

    לגבי דילמת האסיר, אם זה באמת היה ככה אז היינו מגיעים למצב של שיווי משקל במספר המצביעים. בפועל אין מצב שיווי משקל כזה. אפילו במדינות בעלות כמות בוחרים שונה לחלוטין, שיעור המצביעים יכול להיות די דומה. כלומר, הסיכוי של אדם להכריע את הבחירות לא ממש משנה את החלטתו להגיע לקלפי.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 5:53 pm

    שכחתי להתייחס לשתי השורות האחרונות שכתבת. זה בדיוק מה שאני טוען. לא קל דבר "רציונלי" ניתן לכמת במונחים של עלות-תועלת. האדם הוא יצור מורכב.

  • ליאור  On פברואר 4, 2009 at 6:02 pm

    לצערי אני לא יכול לספק ניתוח של סדר הגודל של ההתסברות להשפיע על הענקת מנדט למפלגה. אני פשוט לא מבין את הכללים של השיטה הזאת ואיך היא עובדת. תחושת הבטן שלי היא שהמספרים שם הם עדיין גבוהים, ולכן ההסתברות היא עדיין נמוכה. בכל מקרה, כאשר התוצאה קרובה עד כדי מספר בודד של קולות מי שיכריע יהיה כנראה בית המשפט.

    הנקודה השניה שלך היא השאלה המרכזית כאן. כבר מוסכם על מי שחוקר את התחום הזה שאנשים לא מצביעים בגלל שיש להם סיכוי להכריע את התוצאה. יש דברים אחרים שמביאים אותם לקלפי, ולדעתי (הבלתי מקצועית בעליל בתחום זה) ניתן להגדיר אותם כ"ראציונליים" באותה מידה, אלא שזו ראציונליות שיותר קשה למדוד אותה. ברור שיש מטרה נוספת בהגעה לקלפי, וטוב שכך. זה אותו סוג של ראציונליות של אביב שהגיב קודם, שגורמת לו לנקות אחריו בפארק שהוא יודע שלעולם לא ישוב אליו.

  • עמית  On פברואר 4, 2009 at 6:24 pm

    אתה צודק. אני מתנצל על חלקי בעניין ההתנשאות. ההערה שלי בסיום תגובתי הראשונה לא היתה במקומה.

    לגבי הניתוח השגוי – עשיתי בדיוק, אבל בדיוק מה שאמרת שצריך לעשות וקיבלתי תשובה שונה באופן מהותי ממה שאתה טענת שתתקבל.

    ולא העברתי את הדיון לגופו של אדם. אבל בהחלט דיון הוא משהו שיש בו גם תוכן אבל גם סוג של תקשורת. ותקשורת היא בין בני אדם ולא בין רעיונות.

  • גיא  On פברואר 5, 2009 at 10:35 am

    אני מבין מה שאתה אומר אבל דווקא לא התכוונתי לזה.
    התכוונתי להוכחה על דרך האינדוקציה.
    ניקח בן אדם אחד בלי הגבלת הכלליות ונניח כי ההצבעה שלו לא שינתה את התמונה. נוריד את הקול שלו ונבחן אם התוצאה השתנתה. התשובה תהיה כנראה שלא.
    אבל לא נעצור כאן. מכיוון שבחרנו בלי הגבלת הכלליות נמשיך עם האדם הבא באותה דרך ונוריד גם ההצבעה שלו ונבדוק.
    נמשיך ככה עד תנאי הקצה והוא שגמרנו את כל האנשים או שהתוצאה השתנתה.
    אם תוצאת הבחירות השתנתה (וזה מה שיקרה בפועל) הרי שהנחת היסוד שלנו הייתה שגוייה גם לגבי האדם הראשון שהורדנו מהמשואה שהרי כל האנשים שהורדנו הורדנו אותם בלי הגבלת הכלליות ולא מתוך ההתייחסות הפרטית. כלומר יכלנו לבחור גם את האדם הספציפי האחרון שהשפיע ראשון.

  • ליאור  On פברואר 5, 2009 at 2:43 pm

    הנחת האינדוקציה היא לא קבועה. כלומר, בכל איטרציה הסיכוי להכריע את הבחירות משתנה לפי כמות האנשים שנשארה, כך שזה אכן צפוי שבסופו של דבר יהיה קול שכן יכריע את הבחירות.

  • גיא  On פברואר 5, 2009 at 4:02 pm

    בסופו של דבר יהיה קול כזה. נקרא לו משה. אבל יכולנו לבחור את משה באיטרציה הראשונה ולכן לא יכולנו להניח שמשה לא השפיע ישירות על הבחירות.

    ואפילו אם נניח שמשה הוא פוקס עולמי חריג ונוציא אותו מהמשחק לגמרי – עדיין יהיה מישהו אחר – דוד שהשפיע על הבחירות.

    למעשה כל המצביעים השפיעו על התוצאות רציונאלית בלי הגבלת הכלליות

    בכל הוכחת אינדוקציה מקטינים את המספר השלם עד לתנאי הקצה.

  • ליאור  On פברואר 5, 2009 at 5:39 pm

    אני מקווה שהבנתי אותך עד הסוף. מה שמשתנה לפי האינדוקציה שאתה מציע בכל איטרציה זה לא רק הנומרטור (שזה כמובן משתנה בכל אינדוקציה מעצם היותה אינדוקציה), אלא גם התנאי. כלומר, על הקול הראשון שבחרנו אנחנו יכולים להניח שההשפעה שלו היא זניחה, ולכן, פי שאתה מציע, להסיר אותו ולהמשיך לאיטרציה הבאה. אבל באיטרציה הבאה הקול כבר ישפיע מעט יותר כי יש פחות קולות. כלומר, דוד ישפיע על הבחירות (קצת) יותר מאשר משה, רק בגלל שהיסרנו את משה מרשימת הבוחרים. לכן, אם תקבע סף מסויים שבו אנחנו מחשיבים את הסיכוי להכריע שבלתי זניח, האינדוקציה בשלב מסויים תעבור את הסף הזה ואז התנאי יפסיק להתקיים.

  • גיא  On פברואר 5, 2009 at 7:47 pm

    כל קול קובע וכולם קובעים במידה שווה.

    בהנחה שכל הקולות שווים ואין עליהם שמות אזי אי אפשר להניח שקול מסויים לא השפיע על התוצאות (חוץ מבמקרה הפרטי שכולם שמו פתקים לבנים).

    אפשר להוכיח שאם ניקח קול מסויים ונכריז עליו כאילו הוא היה מיותר (הנחת היסוד) נגלה שהנחת היסוד שלנו נשברה לאחר החלת אידוקצייה על הכלל הזה.

    מותר לנו להכיל אינדוקציה כי אם קבענו שקול מסויים לא השפיע מותר לנו להמשיך ולקבוע את זה גם לגבי הקול הבא כי הסרנו את הגבלת הכלליות – כל הקולות שווים.

    ברגע שנשברה הנחת היסוד הוכחנו על דרך השלילה כי אי אפשר לקבוע שקול מסויים (יהא הקול הזה אשר יהא) לא השפיע על התוצאה.

  • ליאור  On פברואר 6, 2009 at 5:49 am

    אני לא חושב שזה נכון. כל קול אמנם קובע במידה שווה, אבל לא אם אתה מכריז על קול אחר כמיותר.

    אם הכרזת על הקול של דוד כמיותר, ללא קשר לתוכן שלו, אז בזה הרגע הפכת את הקול של משה (שנשאר בערימה) לבעל ערך גבוה יותר ממה שהיה הקול של דוד לפני שהוצאת אותו. זה בגלל שנשארו פחות קולות. בגלל שאתה מסיר את הקולות בזה אחר זה לפי סדר יש לדבר הזה משמעות, עד שישאר בערימה רק הקול של יעקב שהוא באמת יהיה זה שיכריע את הבחירות.

    אני מקווה שבכלל הבנתי למה אתה מתכוון כי זה קצת קשה לנסח מתימטיקה במדיום של האתר הזה.

  • גיא  On פברואר 7, 2009 at 11:07 pm

    זה מתארך יתר על המידה
    רק אציין שמכיוון שאפשר להפוך את הסדר של השמות שציינת (הגבלת הכלליות) לעולם לא תוכל לקבוע חשיבות של קול אחד על מישנהו ומכאן שבהכרח כולם קבעו את התוצאה במידה שווה

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: